y=log xの曲率円

問題

曲線 C:y=log x 上の異なる2点 A(a, log a), B(b, log b) におけるCの法 線の交点をPとする。
  1. b が限りなく a に近づくとき、P はある点 Q に限りなく近づく。
    Q の座標を a で表わせ。

  2. (1) で求めた Q に対して線分 AQ の長さ l a で表わせ。

  3. (2) で求めた l を最小にする a の値を求めよ。

アプレットを使って考えよう。

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(注)曲率円・・・曲線の曲がりの度合を表わす円。曲線上の点Pに近い曲線上の点Q、Rをとり、三点P、Q、Rによって定まる円を考え、Q、Rをこの曲線上で共にPに近づけたとき、この円が近づいて行く円をいう。
国語大辞典(新装版)小学館 1988.