岡山大学1991年入試問題


Question


アプレットの使い方

  • 次のアプレットを使って、上の問題を解いていきます。
  • まず、step1では、青いベクトルと、緑のベクトルを単位円上で自由に動かすことができます。
  • step1で、cosx+cosy=1となるためには、どのような条件が必要なのかを考えてみましょう。
  • step2では、青いベクトルのみ動かすことができます。
  • step2で、sinx+sinyの最大値と最小値を考えてみましょう。
  • [平行線]のボタンを押すと、青いベクトルと、緑のベクトルによって張られる平行四辺形が現れます。

Applet


解説

青いベクトル= 緑のベクトル=
と考えています。

(3)について
このアプレットを使って考えてみましょう。

となることは、アプレットより明らかです。青いベクトルと、緑のベクトルは、ともに大きさ1のベクトルですから、 その2つのベクトルによって作られる平行四辺形は、ひし形となります。

つまりこの平行四辺形の対角線は、角の2等分線となっていることが分かります。

このことから、紫のベクトル(青のベクトル+緑のベクトル)とx軸とのなす角は、(x+y)/2となります。
これと、紫のベクトル(青のベクトル+緑のベクトル)のx成分(cosx+cosy)が1であることを考えれば、となります。

続いてsinx+sinyの最大値最小値の問題について考えてみます。

これは、紫のベクトル(青のベクトル+緑のベクトル)の大きさの問題に置き換えることができます。なぜなら、紫のベクトルのx成分が1で固定されていることから、紫のベクトルのy成分は、そのベクトルの大きさによって決まることになります。

ここでベクトルの大きさ、つまり、ひし形の対角線の長さについてひし形の角の開きが大きいとき、対角線は短くなり、ひし形の角の開きが小さいとき対角線は長くなります

以上より、(x+y)/2=90゜のとき最小値をとり、(x+y)/2=0゜のとき最大値をとることになります。
よって、最大値は1,最小値はとなります。

解答