Locus

三角形の1つの頂点が直線または円周上を動くときの重心、 外心、内心、垂心の軌跡

田野岡涼さんの問題(質問)に刺激されて、いくつかの軌跡の問題をCABRIUで作図してみました。垂心や内心の軌跡は、 かなり複雑な図形となります。(まだ良く調べていません。)作図ソフト によって、はじめてこのような軌跡も簡単に見れるようになったという 1つの例としてご覧下さい。


定点A,Bがあり、直線上を動く点Pがある。三角形ABPの重心、外心、内心、垂心のそれぞれの軌跡はどのようになるでしょうか?


点Pが直線上を動くときの重心(図のQ)の軌跡

もとの直線に平行な直線になります。


点Pが直線上を動くときの外心(図のQ)の軌跡

ABの垂直二等分線上を点Qが動きますが、基本的には、図のように途中 が抜けた直線の一部となります。詳しくは田野岡涼さんの問題(質問)を見て下さい。


点Pが直線上を動くときの内心(図のQ)の軌跡



点Pが直線上を動くときの垂心(図のQ)の軌跡

直線と点A,Bの位置関係によって、放物線や双曲線や直線になります。


定点A,Bがあり、円周上を動く点Pがある。三角形ABPの重心、外心、内心、垂心のそれぞれの軌跡はどのようになるでしょうか。


点Pが円周上を動くときの重心(図のQ)の軌跡

軌跡は円になります。高校生の標準的な問題。


点Pが円周上を動くときの外心(図のQ)の軌跡

ABの垂直二等分線上の線分。(直線ではなく線分です。)


点Pが円周上を動くときの内心(図のQ)の軌跡

楕円のようにもみえますが、点Aや点Bの位置をいろいろ変えてみると 楕円ではありません。


点Pが円周上を動くときの垂心(図のQ)の軌跡