question by TANOOKA Ryo

豊玉高校2年の田野岡涼さんが作った問題(質問)


問題
2定点A,Bと直線上を動く点Pがある。 三角形ABPの外心G(Gaishin)の軌跡を求めよ。




答案
点G(注=重心ではない)は、定線分ABの垂直2等分線mのうえに必ずある。


では、直線mは軌跡だといえるだろうか。
実は、点Pをいくら動かしても、上の図の場合では「m」という文字がかいてあるあたりには点Gは決して近づかない。そこで、逆に点Gは直線mの上の点であるとして、点Gを外心とするような点Pがあるかどうかを吟味する。

点Gを中心とし、A,Bを通る円が定直線と交わる点の1つがPだということにな る。PもQもみつからないようなGの位置は軌跡の一部というわけにはいかない。

Gのところは軌跡の一部ではない。

Gのところは軌跡の一部ではない。

Gのところは軌跡の一部ではない。

Gのところは軌跡の一部である。


結局、下の図で、直線mのうちの太線の部分が軌跡ということになる。

上の図の説明。
点Mは直線ABと問題に与えられた直線との交点。 点Cは線分ABを直径とする円の中心、点Dは線分CMを直径とする円の中心。点Eは円Cと円Dとの交点。点Fと点Hとは点Mを中心とし半径がMEの円と問題に与えられた直線との交点。点Iと点Jとは、それぞれ点F,点Hから問題に与えられた直線に垂直に立てた直線が線分ABの垂直2等分線と交わる点。点I(J)は三角形ABF(H)の外接円の中心で、この外接円は点F(H)において問題に与えられた直線に接する。